关于二项式系数卷积的短注

已知[Rui Duarte 和 António Guedes de Oliveira, 一个旧恒等式的新进展, 手稿 arXiv:1203.5424, 已投稿。]对于任意非负整数 $n,i,j$ 及任意实数 $\ell$, 有 $$\sum_{i+j=n} \binom{2i-\ell}{i} \binom{2j+\ell}{j} = \sum_{i+j=n}\binom{2i}{i} \binom{2j}{j},$$ 而该和众所周知等于 $4^n$。我们推广了这一结果, 证明了对于任意整数 $a$ 及任意实数 $k$, 确实有 $$\sum_{i+j=n} \binom{ai+k-\ell}{i} \binom{aj+\ell}{j} = \sum_{i+j=n} \binom{ai+k}{i} \binom{aj}{j}$$ 成立, 并给出了该值的新表达式。