量子总探测概率的不确定性及对称性界限

我们研究一个制备于态 $|\psi_\text{in}\rangle$ 的通用离散量子系统，在重复探测尝试下寻找粒子于态 $|d\rangle$ 中，例如有限图上的量子游走搜索节点。对于相应的经典随机游走，总探测概率 $P_\text{det}$ 为 1。由于相消干涉，人们可能发现具有 $P_\text{det}<1$ 的初态 $|\psi_\text{in}\rangle$。我们首先获得一个不确定性关系，它揭示了这种对经典行为的偏离，展示了 $P_\text{det}$ 与能量涨落之间的关系：$\Delta P \,\mathrm{Var}[\hat{H}]_d \ge | \langle d| [\hat{H}, \hat{D}] | \psi_\text{in} \rangle |^2$，其中 $\Delta P = P_\text{det} - |\langle\psi_\text{in}|d\rangle |^2$，且 $\hat{D} = |d\rangle\langle d|$ 为测量投影算符。其次，利用对称性我们证明 $P_\text{det}\le 1/\nu$，其中整数 $\nu$ 为等价于初态的状态数。将这些界限与从小系统精确解（通过对暗子空间和亮子空间的分析获得）进行比较，显示了该方法的有用性。该上界即使在大型系统中也表现良好，并且我们展示了如何在此情形下收紧下界。