无界带状矩阵、偏移正双对角分解与混合类型多正交

本工作将带状矩阵$T$的Favard型谱表示推广到无界情形。它假设对于每一个$N\in\mathbb{N}_0$，都存在一个偏移$s_N\ge0$，使得偏移截断$A_N:= T^{[N]}+s_N I_{N+1}$具有正双对角分解（PBF）。允许$s_N$随$N$而变，导致一种自然的再中心化步骤：与$A_N相关联的离散高斯型积分测度经历$x\mapsto x-s_N$的平移，形成一族均匀有界的分布函数。将对带状截断的矩稳定性与Helly型紧致性定理相结合，可得到一个矩阵值测度，伴随Favard型谱表示及相应的混合类型多重正交关系。作为结果，恢复了（可能无界的）Jacobi矩阵的经典Favard定理作为一个特例。事实上，对于具有正副对角线的三对角矩阵$J$，每个截断$J^{[N]}$都存在一个$s_N\ge0$，使得$J^{[N]}+s_N I_{N+1}$是振荡的，从而具有PBF。此构造随后产生$J$的常规谱测度。