Goursat型与Cartan型的不可弯有理曲线

我们研究不可弯有理曲线，即复流形（维数为$n$）中的非奇异有理曲线，其法丛同构于$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)^{\oplus p} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus (n-1-p)}$，其中$p$为某非负整数。著名的例子来自代数几何，即单有理射影流形的一般极小有理曲线。在描述了不可弯有理曲线形变空间上自然分布的差分几何性质与其极小有理切丛的射影几何性质之间的关系后，我们集中于$p=1$且$n \leq 5$的情形，这是最简单的非平凡情形。此时，不可弯有理曲线族本质上分为两类：Goursat型或Cartan型。Goursat型源于常微分方程，而Cartan型具有与接触几何相关的特殊特征。我们证明任意非奇异三次4重面上的直线族为Goursat型，而一般四次5重面上的直线族为Cartan型，其证明中极小有理切丛的射影几何起着关键作用。