移动族 $\mathbb{P}^2$ 中的有理尖点曲线

在本文中，我们得到了 $\mathbb{P}^3$ 中次数为 d、具有一个尖点、其像位于 $\mathbb{P}^2$ 中且经过 r 条直线和 s 个点（其中 $r + 2s = 3d + 1$）的有理曲线的计数公式。该问题可视为经典计数 $\mathbb{P}^2$ 中有理尖点曲线问题的族版本，此前 Z. Ran、R. Pandharipande 和 A. Zinger 曾研究过。我们通过计算相关丛的欧拉类，然后求出欧拉类对应的退化贡献来得到该数目。我们所使用的方法紧密基于 A. Zinger 以及 I. Biswas、S. D'Mello、R. Mukherjee 和 V. Pingali 所采用的方法。我们还验证了关于有理尖点平面三次与四次曲线的特征数的答案与 N. Das 和第一作者所得答案一致，其中他们计算了 $\mathbb{P}^3$ 中具有一个尖点的 $\delta$-结点平面曲线的特征数（对于 $\delta \leq 2$）。