采用分层蒙特卡洛时间积分的未调整哈密顿蒙特卡洛

我们为未调整哈密顿蒙特卡洛（uHMC）提出一种随机化时间积分器，它仅对常用 Verlet 时间积分器做极细微修改，因此易于实现。对于形式为 $\mu(dx) \propto e^{-U(x)} dx$ 的目标分布，其中 $U: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ 是 $K$-强凸但仅 $L$-梯度 Lipschitz 的，以及具有有限二阶矩的初始分布 $\nu$，耦合证明表明：采用随机化时间积分的 uHMC 算法可通过 $O\left((d/K)^{1/3} (L/K)^{5/3} \varepsilon^{-2/3} \log( \boldsymbol{\mathcal{W}}^2(\mu, \nu) / \varepsilon)^+\right)$ 次梯度评估，实现在 $L^2$-Wasserstein 距离 $\boldsymbol{\mathcal{W}}^2$ 下对目标分布的 $\varepsilon$-精度近似；而对于此类粗糙目标密度，采用 Verlet 时间积分的 uHMC 算法相应复杂性一般为 $O\left((d/K)^{1/2} (L/K)^2 \varepsilon^{-1} \log( \boldsymbol{\mathcal{W}}^2(\mu, \nu) / \varepsilon)^+ \right)$。我们也给出了可 Metropolis 调整的随机化时间积分器。