关于模形式上 $U_p$ 算子半单性

设 $p$ 为素数，$N$ 为与 $p$ 互素的整数。我们证明 $U_p$ 算子作用于在水平 $pN$ 且权数为二的 cuspidal 模ular 形式空间时是半单的。由此可得作用于权数二的水平 $M$ 模ular 形式空间的 Hecke 代数在 $M$ 为平凡数时是约化的。假设在有限域上光滑射影变形的闭合循环上成立 Tate 猜想，我们将这些结果推广到更高的权数。证明的关键点在于，作用于权数至少为二且水平与 $p$ 互素的 newform 关联的 motive 在模 $p$ 约化后的晶体 Frobenius 不能为标量。在假设 Tate 猜想成立的情况下， Ramanujan 不等式严格成立。对于 $N$ 为素数，我们将权数二的 Hecke 代数的判别式与 $X_0(N)$ 的高度关联，由此得到上界。