SO(n+1)-不变高斯随机多项式系统零点的两点关联函数与普适性

我们研究了 $\mathbb{RP}^n$ 上 $SO(n+1)$-不变高斯随机多项式系统以及 ${\rm isom}(\mathbb{R}^n)$-不变高斯解析函数系统的零点两点关联函数。我们的结果反映了与 Bleher、Shiffman 和 Zelditch 在复数情形下发现的相同的“排斥”、“中性”和“吸引”短距离渐近行为，具体取决于维度。对于 ${\rm isom}(\mathbb{R}^n)$-不变高斯解析函数系统，我们还得到了长距离下关联的快速衰减。然后我们证明 ${\rm isom}(\mathbb{R}^n)$-不变高斯解析函数的关联函数是“普适的”，它描述了 $SO(k+1)$-不变高斯随机多项式系统限制到任意 $n$ 维 $C^2$ 子流形 $M \subset \mathbb{RP}^k$ 上所得系统的关联函数的标度极限。这给出了 Bleher、Shiffman 和 Zelditch 在复数情形下证明的普适性结果的实对应。（我们的技术也适用于复数情形，证明了 Bleher、Shiffman 和 Zelditch 普适性结果的一个特例。）