关于加性函数的广义 Darboux 性质及相关特征的两则注记

我们给出了关于实加性函数的广义 Darboux 性质的两个结果。第一个结果涉及所有加性函数共有的一种弱连续性，称为 ${\bf Q}$-连续性。我们证明每个 ${\bf Q}$-连续函数都是一列 Darboux 函数的一致极限。${\bf Q}$-连续函数类包括 Jensen 凸函数类。我们讨论了与相关概念的进一步联系，例如 ${\bf Q}$-可微性。其次，给定一个基数为 ${\bf c}$ 的 ${\bf Q}$-向量空间 $A\subseteq {\bf R}$，我们考虑加性函数类 ${\cal DH}^{*}(A)$，使得对于每个区间 $I\subseteq {\bf R}$，有 $f(I)=A$。我们证明，${\cal DH}^{*}(A)$ 类中的每个函数都可以写成一个线性（加性连续）函数和一个具有 Darboux 性质的加性函数之和，当且仅当 $A={\bf R}$。我们应用此结果，将实函数的某一层级结构相对化到加性函数类上。