随机平面图演化中的两个临界期

设 $P(n,M)$ 是从所有具有 $n$ 个顶点和 $M$ 条边的标号平面图族中均匀随机选取的图。本文研究 $P(n,M)$ 的连通分支结构。结合计数论证与解析技术，我们表明 $P(n,M)$ 的演化中存在两个临界期。第一个临界期宽度为 $\Theta(n^{2/3})$，类似于标准随机图模型中观察到的相变，发生在 $M=n/2+O(n^{2/3})$ 时，此时最大的复杂分支形成。然后，当 $M=n+O(n^{3/5})$ 时，复杂分支几乎覆盖所有顶点，第二个宽度为 $n^{3/5}$ 的临界期出现。从该时刻起，$M$ 的增加主要影响复杂分支的密度，而非其大小。