图中的孪生集

基本的抽屉原理保证了当对象的数量大于类型的数量时，必然存在两个相同类型的对象。这样的原理能否推广到更复杂的组合结构中？在此，我们针对图探讨这一问题。我们称顶点的两个不相交子集 $A, B$ 为“孪生集”，如果它们具有相同的基数并且导出相同大小的子图。设 $t(G)$ 为最大的 $k$，使得 $G$ 包含各有 $k$ 个顶点的孪生集。我们利用导出子图的差异结果，给出了用边数和顶点数表示的 $t(G)$ 的界限。此外，我们给出了 $t(G)= |V(G)|/2$ 的条件，并证明了如果 $G$ 是森林，则 $t(G) \geq |V(G)|/2 - 1$。