基于分数阶拉普拉斯算子的湍流建模

本文中，我们推导分数阶拉普拉斯算子，以表示湍流中产生的平均摩擦力：$\rho \frac{D\bar{\bf u}}{Dt} = -\nabla p + \mu_\alpha \nabla^2\bar{\bf u} + \rho C_\alpha \iiint_{\!-\infty}^\infty \frac{ \bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x}')} - \bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x})} }{|{\bf x}'-{\bf x}|^{\alpha+3}} \,d{\bf x}'$，其中 $\bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x})}$ 为系综平均速度场，$\mu_\alpha$ 为增强的分子黏度，$C_\alpha$ 为湍流混合系数（单位为 (长度)$^\alpha$/(时间)）。该推导基于玻尔兹曼动理论，其假定粒子速度的均衡概率分布 $f_\alpha^{eq}(t,{\bf x},{\bf u})$。历史上 $f_\alpha^{eq}$ 被假定为麦克斯韦-玻尔兹曼分布，我们则证明 Lévy $\alpha$-稳定分布族中的任一成员均为合适的替代。若 $\alpha=2$，则 $f^{eq}_\alpha$ 为麦克斯韦-玻尔兹曼分布，大粒子速度极不可能出现，并可恢复纳维-斯托克斯方程（此时 $\mu_\alpha = \mu$ 且 $C_\alpha = 0$）。若 $0 < \alpha < 2$，则 $f^{eq}_\alpha$ 为 Lévy $\alpha$-稳定分布，其“重尾”允许如湍流般的大速度涨落。对于剪切湍流，选取 $\alpha = 1$（$f_\alpha^{eq}$ 为柯西分布）可导出称为壁面定律的对数速度剖面。我们还给出了 1D 库埃特流与 2D 边界层流的例子，并在该动理论框架内讨论湍流输运。本工作提出了一种湍流建模的新框架，或可增进对湍流的基本理解。