横截面、Ruas 猜想以及准齐次曲面的 Zariski 重数猜想

本文考虑一个有限决定、准齐次、核数为 1 的映射原点 $f$ 从 $(\mathbb{C}^2,0)$ 到 $(\mathbb{C}^3,0)$ 的情形。我们引入 $\mu_{\mathbf{m},\mathbf{k}}$-最小横截面的概念。由于此类横截面是平面曲线，故可给出拓扑正规形式，我们对其进行显式描述。在假设 $\mu_{\mathbf{m},\mathbf{k}}$-最小横截面假设成立的前提下，我们给出了在此情形下，Ruas 猜想中拓扑平凡性与 Whitney 等价性之间等价性的证明。我们还提供了一个反例，表明在给定 Ruas 提出的疑问答案的情形下，Whitney 等价性不一定蕴含双 Lipschitz 等价性。此外，我们证明，每组拓扑平凡的 1 参数展开 $f=(f_1,f_2,f_3)$（不一定具有 \mu_{\mathbf{m},\mathbf{k}-最小横截面）均为非负次数；即，变形 $f_i$ 的任何附加项 $\alpha$ 都具有加权次数不小于 $f_i$ 的次数。据此，我们给出了对此类原点的 1 参数家族的 Zariski 重数猜想的证明。