传递闭包稀疏子图
摘要
给定一个有向图G = (V, E)和一个整数k ≥ 1，G的k-传递闭包稀疏子图(k-TC-spanner)是一个有向图H = (V, E_H)，它满足(1)与G具有相同的传递闭包，以及(2)直径至多为k。这些稀疏子图在访问控制、数据结构和性质检验中被隐式研究过，其性质在20年间被多次重新发现。这些应用的主要目标是获得最稀疏的k-TC-spanner。我们将这些不同的领域统一到TC-spanner的框架下。我们首次研究了对于给定有向图，最稀疏k-TC-spanner大小的可近似性。我们完全解决了2-TC-spanner的可近似性，证明其近似比为Θ(log n)，除非P = NP。对于k > 2，我们提出了一种多项式时间算法，能够找到大小在最优值的O((n log n)^{1-1/k})范围内的k-TC-spanner。我们的算法技术还为k > 3时一些被广泛研究的有向稀疏子图问题（DIRECTED k-SPANNER、CLIENT/SERVER DIRECTED k-SPANNER和k-DIAMETER SPANNING SUBGRAPH）提供了已知最佳近似比的算法。对于常数k ≥ 3，我们证明最稀疏k-TC-spanner的大小难以在2^{log^{1-ε} n}比率内近似，除非NP ⊆ DTIME(n^{polylog n})。最后，我们研究了H-无 minors图族的最稀疏k-TC-spanner的大小。结合我们的构造和对2-TC-spanner可用于设计性质检验器的洞察，我们为任何传递归约是H-无 minors有向图的偏序集，获得了一个查询复杂度为O(log^2 n / ε)的单调性检验器，改进了Fischer等人(2002)所需的Θ(√n log n / ε)查询复杂度。
引用
@article{arxiv.0808.1787,
title = {Transitive-Closure Spanners},
author = {Arnab Bhattacharyya and Elena Grigorescu and Kyomin Jung and Sofya Raskhodnikova and David P. Woodruff},
journal= {arXiv preprint arXiv:0808.1787},
year = {2008}
}
备注
Extended abstract with appendices