正规态的转移概率决定量子系统的 Jordan 结构

设 $\Phi:\mathfrak{S}(M_1)\to \mathfrak{S}(M_2)$ 为两个量子系统的正规态集合之间的一个双射（不假定仿射或连续），这两个系统分别建模于 von Neumann 代数 $M_1$ 和 $M_2$ 的自伴部分。本文关注 $\Phi$ 保持（或部分保持）正规态空间上如下三种“转移概率”概念之一的情况：Uhlmann 转移概率 $P_U$、Raggio 转移概率 $P_B$ 以及本文定义的“非对称转移概率” $P_0$。研究表明，若 $\Phi$ 保持所有具有零 Uhlmann（相应地，Raggio 或非对称）转移概率的态对，即对任意正规态 $\mu$ 和 $\nu$，有 $$P\big(\Phi(\mu),\Phi(\nu)\big) = 0 \quad \text{if and only if} \quad P(\mu,\nu)=0,$$ 其中 $P$ 代表 $P_U$（相应地，$P_R$ 或 $P_0$），则两个系统同构，即 $M_1$ 和 $M_2$ 是 Jordan $^*$-同构的。此外，作为 Wigner 定理的推广，证明了存在 Jordan $^*$-同构 $\Theta:M_2\to M_1$ 满足 $$\Phi = \Theta^*|_{\mathfrak{S}(M_1)}$$ 当且仅当 $\Phi$ 保持“非对称转移概率”。这也等价于 $\Phi$ 保持 Raggio 转移概率。因此，若 $\Phi$ 保持 Raggio 转移概率，则它也将保持 Uhlmann 转移概率。作为另一应用，赋予通常度量、Bures 度量或“自对偶锥诱导的度量”的正规态集合是底层 von Neumann 代数的完全 Jordan $^*$-不变量。