经典群特征的过渡、Gelfand-Tsetlin 模式的分解与末通渗流

我们研究经典群 ${\rm GL}_n(\mathbb{C})$、${\rm SO}_{2n+1}(\mathbb{C})$、${\rm Sp}_{2n}(\mathbb{C})$、${\rm SO}_{2n}(\mathbb{C})$ 以及“非经典”奇辛群 ${\rm Sp}_{2n+1}(\mathbb{C})$ 的不可约特征的组合结构，发现其与末通渗流（LPP）这一概率模型的新联系。扰动这些特征作为 Gelfand-Tsetlin 模式生成函数的表达式，我们产生两类对称多项式族，分别插值于 ${\rm Sp}_{2n}(\mathbb{C})$ 与 ${\rm SO}_{2n+1}(\mathbb{C})$ 的特征之间，以及 ${\rm SO}_{2n}(\mathbb{C})$ 与 ${\rm SO}_{2n+1}(\mathbb{C})$ 的特征之间。我们将第一类识别为 Koornwinder 多项式的单参数特化，从而为其提供了一种新的组合结构；另一方面，第二类似乎是全新的。我们进而发展了一种 Gelfand-Tsetlin 模式分解方法，以建立所有这些多项式之间的恒等式，在不可约特征的情形下可视为分支规则。通过这些公式，我们将正交与辛特征，更一般地将这些插值多项式，与具有各种对称性的 LPP 模型联系起来，从而超越了 Baik 与 Rains（Duke Math. J., 2001）最初发现的与经典 Schur 多项式的联系。取 LPP 模型的标度极限，我们最终解释了为何随机矩阵论中的 Tracy-Widom GOE 与 GSE 分布容许用 Fredholm 行列式与 Fredholm Pfaffian 两种形式表述。