$\Gamma_0(n)$ 的转移算子与 $PSL(2,Z)$ 周期函数空间的 Hecke 算子

在本文中，我们报告了同余子群 $\Gamma_{0}(n)$ 的转移算子与模群 $\PSL (2,\mathbb{Z})$ 的周期函数空间上的 Hecke 算子之间的一个惊人关系。为此，我们研究转移算子的特殊本征函数，其本征值为 $\mp 1$，这些函数也是群 $\Gamma_{0}(n)$ 的 Lewis 方程的解，并且由模群 $\PSL (2,\mathbb{Z})$ 的转移算子的本征函数所确定。用 Atkin-Lehner 关于新旧形式(old and new forms)的理论的语言来说，因此应称它们为 Lewis 方程的旧本征函数或旧解。结果表明，对于任意 $n$，群 $\Gamma_{0}(n)$ 的这些旧解的各分量之和确定了模群的 Lewis 方程的一个解，从而也确定了该群转移算子的一个本征函数。