关于三项式超椭圆曲线的 Sato-Tate 群

我们考虑形如 $$C_1\colon y^2=x^{2g+2}+c, C_2\colon y^2=x^{2g+1}+cx, C_3\colon y^2=x^{2g+1} +c$$ 的曲线其雅可比的 Sato-Tate 群的恒等分支，其中 $g$ 为曲线亏格，$c\in\mathbb Q^*$ 为常数。我们从三方面研究该问题。首先利用 Kani-Rosen 定理确定亏格 4 和 5 的 $C_1$ 曲线雅可比的分裂，并证明每种情况下 Sato-Tate 群恒等分支的构成。继而通过寻找到更低亏格曲线的映射并计算微分 1-形式的拉回，确定高亏格 $C_1$ 曲线雅可比的分裂。使用此方法，我们能将形如 $C_1$、$C_2$ 和 $C_3$ 的曲线雅可比联系起来。最后，我们发展了一种计算这三族曲线雅可比的 Sato-Tate 群恒等分支的新方法。我们用该方法计算了许多显式例子，并发现这些曲线族的恒等分支形状中存在令人惊讶的规律。