迈向连续一致性公理

机器学习尤其是聚类领域新算法的开发、此类算法的比较研究以及依据软件工程原则开展的测试，都需要有标签数据集可用。尽管标准基准已公开，但为避免过拟合问题，仍需更广泛的数据集。在此背景下，聚类算法公理化的理论研究，尤其是关于聚类保持变换的公理，是从已有数据集生成有标签数据集的一种颇为廉价的方式。然而，正如本文所示，被广泛引用的Kleinberg:2002公理系统在有限维欧氏空间中并不适用，而许多算法如$k$-means即运行于其中。具体而言，所谓外一致性公理在数据点位置发生微小变动时失效，而内一致性公理一般在仅恒等变换下成立。因此我们提出一套替代公理系统，以中心一致性公理取代Kleinberg的内一致性公理，以运动一致性公理取代外一致性公理。我们证明新系统对具有自动调节$k$的层次化$k$-means是可满足的，故不矛盾。此外，由于$k$-means仅生成凸簇，我们证明可创建能检测凹簇的版本且公理系统仍可被满足。此类公理系统的实际应用方向可能是从已有数据生成新的有标签测试数据以用于聚类算法测试。