面向最优规模 DFT：在热力学极限和完整基组极限下的随机哈特里希尔理论（任意温度下）

我们present了随机密度泛函理论（DFT）在哈特里希尔近似框架内的首个数学分析。我们通过 nearly-optimal 或 $\tilde{O}(n)$ 规模的概念进行分析，这一规模相对于计算自由度的数量 $n$ 与电子数无关，同时适用于热力学极限和完整基组极限。的确，这种规模承诺是随机 DFT 相对于传统轨道方法以及确定性轨道自由方法的主要动力学。我们强调了三个关键的数学目标，这些目标在我们的算法和分析中得到了综合体现。首先，我们识别出一种哈特里希尔势的特定随机估计器，其抽样复杂度基本上独立于离子化规模。其次，我们将自洽场迭代重新表述为一种随机镜像梯度方法，其中费米-狄拉克熵发挥Bregman势的作用，我们证明了达到固定精度所需迭代次数几乎独立于离子化的界限。第三，受估计器启发，我们引入一种新颖的极点展开方案，用于平方根费米-狄拉克算子，进一步在完整基组极限下保持 $\tilde{O}(n)$ 每次镜像梯度迭代成本。将这些组件组合起来，我们在合理的基组选择下，在感兴趣的两个极限中建立了近乎最优的规模。大量数值实验显示，问题规模可达 $10^{6}$ 个自由度，验证了我们的算法并支持近乎最优规模的理论。