李代数 $\mathfrak{nil}_n$ 的挠表

我们研究由所有整数项严格上三角 $n\!\times\!n$ 矩阵组成的李环 $\mathfrak{nil}_n$。计算了 $n\!\leq\!8$ 时的完全同调。我们证明了对于 $p^m\!\leq\!n\!-\!2$，每一个 $p^m$-挠都出现在 $H_\ast(\mathfrak{nil}_n;\mathbb{Z})$ 中。当 $m\!=\!1$ 时，Dwyer 证明了该界是尖锐的，即当素数 $p\!>\!n\!-\!2$ 时，$H_\ast(\mathfrak{nil}_n;\mathbb{Z})$ 中没有 $p$-挠。一般来说，对于 $m\!>\!1$ 该界不尖锐，因为我们展示了 $H_\ast(\mathfrak{nil}_8;\mathbb{Z})$ 中存在 $8$-挠。作为副产品，我们用不同于 Kostant 的方法推导了已知结果：$H_\ast(\mathfrak{nil}_n;\mathbb{Z})$ 自由部分的秩是 Mahonian 数（即 $[n]$ 中具有 $k$ 个逆序的排列数）。此外，我们确定了 $H^\ast(\mathfrak{nil}_n;\mathbb{Q})$ 的代数结构（杯积）。