具有Picard数三的环椭圆对

椭圆对$(X, C)$是有理椭圆纤维化$X \to \mathbb{P}^1$（纤维为$C$）的推广，由文献\cite{jenia_blowup}引入。这里，$X$是具有对数终端奇点的射影有理曲面，$C$是包含在$X$光滑轨迹中的不可约曲线，满足$p_a(C)=1$且$C^2=0$。这些椭圆对自然作为射影环面的吹开$X:=\text{Bl}_e(\mathbb{P}_\Delta)$出现，其牛顿多边形是椭圆的。$\mathcal{O}(C)|_C$在$\text{Pic}^0(C)$中的阶数提供了一种检验$X$是否为椭圆纤维化的定量方法，该纤维化等价于阶数的有限性。当该阶数为无穷时，我们称$\Delta$为Lang-Trotter多边形，此时$\overline{\text{Eff}(\text{Bl}_e(\mathbb{P}_\Delta))}$是非多面体的。文献\cite{lizzie}表明，在$\text{SL}_2(\mathbb{Z})$作用下，恰好有$3$个椭圆三角形，且它们都不是Lang-Trotter的。文献\cite{jenia_blowup}给出了无穷多个Lang-Trotter五边形和七边形，以及其他各种多边形在$\rho(\mathbb{P}_\Delta)>2$时的例子。该文献的注记4.7询问是否存在Lang-Trotter四边形，我们通过研究$K_X+C$的Zariski分解中的曲线，对此问题给出了否定回答。