关于椭圆对的几何

椭圆对 $(X, C)$ 是指一个具有对数终端奇点的射影有理曲面 $X$，以及一条包含在 $X$ 的光滑轨迹中、算术亏格为一且自交为零的不可约曲线 $C$。它们是判断 $X$ 的伪有效锥是否为多面体的有用工具，并且本身就是有趣的代数与几何对象。尤其令人感兴趣的是环面椭圆对，其中 $X$ 是射影环面曲面在环面恒等元处的爆破。本文中，我们对所有皮卡数为二的环面椭圆对进行了分类。引人注目的是，结果仅有三个这样的椭圆对。此外，我们研究了一类来自特征 $p$ 下 nodal 三次曲线上九点处爆破 $\mathbb{P}^2$ 得到的非环面椭圆对。该构造给出了这样一些曲面的例子：其伪有效锥在一组正密度的素数 $p$ 处为非多面体，并且在假设广义黎曼假设下，在一组正密度的素数 $p$ 处为多面体。