FAQ 查询的依赖于拓扑的轮数下界

在本文中，我们证明了在 Chattopadhyay 等人 [FOCS 2014, SODA 2017] 所考虑的模型中，于同步分布式网络内计算 Abo Khamis 等人 [PODS 2016] 研究的功能聚合查询（Functional Aggregate Queries, FAQs）所需轮数的依赖于拓扑的下界。与近期在大规模并行计算（Massively Parallel Computation）模型中计算数据库查询的工作不同，在 Chattopadhyay 等人的模型中，节点只能通过私有点对点信道通信，而我们感兴趣的是在任意通信拓扑上成立的下界。这是首个在该分布式模型中考虑更具实际动机问题的工作。为便于阐述，本文聚焦于两个特殊问题：布尔合取查询（Boolean Conjunctive Query, BCQ）和概率图模型（Probabilistic Graphical Models, PGMs）中变量/因子边缘的计算。只要查询的底层超图是 $O(1)$-退化且具有 $O(1)$-元数，我们就获得了计算此类查询所需轮数的紧下界。特别地，$O(1)$-退化条件涵盖了大多数在集中式计算模型中可高效计算的知名查询，例如具有常数树宽的查询。这些紧下界依赖于无环超图的广义超树分解（Generalized Hypertree Decompositions, GHDs）的一个新“宽度”概念（即内部节点宽度），该概念在一类 GHD 子类中最小化内部节点数。据我们所知，该宽度在理论数据库文献中尚未被显式研究。最后，我们考虑向量与矩阵链相乘的问题，并利用一种基于最小熵的新论证证明了其轮复杂度（在二元有限域上）的紧下界。