环面上的拓扑刚性及 H_1-负对合

我们证明，当 $n$ 形如 $4k$、$4k+1$ 或小于 $4$ 时，在 $n$ 维环面上，至多只有一个对合（在共轭意义下）在第一同调群上作用为 $-\mathrm{Id}$。在所有其他情况下，我们证明存在无穷多个这样的对合（在共轭意义下），但每个对合恰好有 $2^n$ 个不动点，并且共轭于一个光滑对合。关键技术要点是，我们根据由 $\mathbb{R}^n$ 上相应晶体群作用的无限二面体子群产生的 Cappell $\mathrm{UNil}$ 群，完全计算了该作用的等变结构集。我们对此族群的等变拓扑刚性给出了完整的分析。