实群的 Galois 上同调

复约化群的实形式可通过 Galois 上同调 $H^1(\Gamma,G_{ad})$ 进行分类，其中 $G_{ad}$ 为伴随群。另一种方法是利用 Cartan 对合理论，通过关于全纯对合的上同调进行描述：$H^1(\mathbb Z/2\mathbb Z,G_{ad})$，其中非平凡元素由全纯对合 $\theta$ 作用。主要定理表明，一般情况下，若 $\theta$ 是实形式 $\sigma$ 的 Cartan 对合，则存在规范同构 $H^1(\Gamma,G)\simeq H^1(\mathbb Z/2\mathbb Z,G)$。该结论在实群的结构与表示论中具有应用。本文给出了两个此类应用：第一个是对 Matsuki 关于实群中托拉斯共轭类结果的简洁证明；第二个是对 $H^1(\Gamma,G)$ 的一般性计算，其结果用强实形式（strong real forms）的概念表述。我们还包含了所有单连通单群的相关表格。