尖刺随机多项式与有限秩球面积分的拓扑复杂性

我们研究了在存在依赖于固定单位向量和外部参数的确定性多项式的情况下，$N$ 维单位球面上随机高斯齐次多项式的退火复杂性。特别地，我们建立了临界点总数和局部极大值数目的指数渐近变分公式。这是通过 Kac-Rice 公式和高斯 Wigner 矩阵有限秩扰动的行列式渐近性质获得的。更准确地说，行列式分析基于 [Guionnet, Husson 2022] 关于有限秩球面积分的最新进展，以研究多秩尖刺高斯 Wigner 矩阵的大偏差。对变分问题的分析揭示了一个拓扑相变。存在一个外部参数的精确阈值，一旦超过该阈值，复杂性函数便在临界点接近给定向量的新区域中消失。有趣的是，这些区域也包括临界点接近多个向量的区域。