时间序列相关性与柯尔莫哥洛夫复杂度：豪斯多夫维度视角

虚假相关在时间序列分析中很常见，因为简单、低复杂度的模式即使在无关序列之间也能产生较高的皮尔逊相关系数。我们论证柯尔莫哥洛夫复杂度（解释为抗压缩性）为此类假阳性提供了原则性的保障。利用有效豪斯多夫维度，我们证明两个独立序列之间偶然相关的概率随其复杂度呈指数衰减，而噪声会膨胀观测到的复杂度，因此在实践中必须加以考虑。我们通过耦合逻辑斯蒂映射和多分数布朗运动（mfBm）来说明这些思想，其中赫斯特参数 $H$ 同时控制复杂度和豪斯多夫维度（$\dim_H = 2 - H$）。两个模型都表明，假阳性在低复杂度序列中远比在高复杂度序列中常见。我们引入联合复杂度指标 $J_{\rm LZ} = \sqrt{\widetilde{C}_{\rm LZ}(x)\widetilde{C}_{\rm LZ}(y)}$，它捕捉的是联合高复杂度而非个体复杂度之间的简单相似性。其阈值可以从mfBm假阳性曲线校准。在逻辑斯蒂映射中，$J_{\rm LZ}$ 还在同步崩溃之前预示了个体复杂度的崩溃。我们建议首先建立平稳性，然后报告 $J_{\rm LZ}$ 和 $\rho$，并对低复杂度序列间的高相关性持怀疑态度。