概率Kolmogorov复杂性的理论及应用

近年来，Kolmogorov复杂性在学习[CIKK16]、电路复杂性[OPS19]、密码学[LP20]、平均情形复杂性[Hir21]与证明搜索[Kra22]等方面的多样化应用被发现。由于算法运行时间是这些领域中的关键资源，在相应论证中考虑时间有界的Kolmogorov复杂性变体至关重要。尽管时间有界Kolmogorov复杂性与理论计算机科学不同领域之间富有成果的交互早已为人所知（例如[Sip83, Ko91, ABK+06, AF09]等），上述结果引发了人们对该主题的重新关注。Kolmogorov复杂性理论已被充分理解，但其许多有用结果与性质在时间有界设定下未必已知成立。这在使用时间有界Kolmogorov复杂性方法应用于算法与复杂性理论时造成技术困难或导致条件性结果。或许更为重要的是，许多情况下有必要考虑随机算法。由于随机串具有高复杂性，经典的时间有界Kolmogorov复杂性理论在此类语境下可能并不合适。为缓解这些问题并发展一种在时间有界随机计算设定中依然成立的时间有界Kolmogorov复杂性理论，一些近期论文[Oli19, LO21, LOS21, GKLO22, LOZ22]探索了概率性时间有界Kolmogorov复杂性概念，例如$\mathsf{rKt}$复杂性[Oli19]、$\mathsf{rK}^t$复杂性[LOS21]与$\mathsf{pK}^t$复杂性[GKLO22]。这些度量考虑了通过概率表示编码对象的不同方式。在本综述中，我们介绍概率性时间有界Kolmogorov复杂性及其应用，并强调诸多开放问题与研究方向。