量子门的时间演化与复数必要性

作为物理系统，qubit必须从输入态演化到输出态。我们描述了一种简单方案，用有效哈密顿量在一段特征时间内作用来描述量子门的作用。该模型表明，常见的一元门作用于Bloch球沿着相对于门特征向量的纬度线的轨迹。此类轨迹会立即将初始时 confined 在纬度线上的 `rebit' 移出该线并获得复数相位。突出了复数相位在两个qubit纠缠中的作用。随后我们询问是否可以使用实 QM 来建模此类动力学。我们证明，所需的连续演化只能由维数等于复空间维数的特殊正交群的成员提供。由于许多感兴趣的量子门矩阵的行列式为-1，若实向量空间维数等于复空间维数，则不存在实特殊正交算子来建模其演化。随后我们考察从复向量空间维为 $N$ 到实向量空间维为 $2N$ 的映射，这是常用于构造 `实' QM 的做法。我们证明这只是将复数的标量表示映射到其 $2\times2$ 矩阵等价物的同构映射，因而得到的矩阵实际上是复矩阵。最后，我们考察维数为 $N = 2^{n}$ 的实向量空间的内同态，适用于建模 $n-1$ 个qubit。我们确认，从 $\mathbb{C}^{2^{n-1}} \to \mathbb{R}^{2^{n}}$ 的映射仅将 $\mathrm{End}(\mathbb{C}^{2^{n-1}})$ 的元素映射到 $\mathrm{End}(\mathbb{R}^{2^{n}})$ 的受限子空间，从而再现复矩阵的 `实' 表示。