紧希尔伯特多项式与 F-有理局部环

设 $(R,\mathfrak{m})$ 为特征 $p$ 的诺特局部环, $Q$ 为 $\mathfrak{m}$-准素参数理想。我们利用紧希尔伯特函数 $H^*_Q(n)=\ell(R/(Q^n)^*)$ 与紧希尔伯特多项式 $P^*_Q(n)=\sum_{i=0}^d(-1)^ie_i^*(Q)\binom{n+d-1-i}{d-i}$ 的系数 $e_1^*(Q)$ 给出 $R$ 的 F-有理性的判据。我们对等维优异局部环上 $Q$ 的紧希尔伯特函数给出了一个下界,推广了 Goto 与 Nakamura 的结果。我们证明若 $\dim R=2$, $R$ 的 Hochster-Huneke 图连通且达到该下界,则 $R$ 是 F-有理的。Craig Huneke 曾问:非混合局部环的 $F$-理性是否可由 $e_1^*(Q)$ 的消失来刻画。我们构造例子表明若无附加条件,这是不可能的。设 $R$ 为优异、约化、等维诺特局部环且 $Q$ 由参数检验元生成。我们给出了 $e_1^*(Q), e_2^*(Q), \ldots, e_d^*(Q)$ 用 $Q$ 的希尔伯特系数、$R$ 的局部上同调模的长度以及 $H^d_{\mathfrak{m}}(R)$ 的零子模的紧闭包的长度表示的公式。利用这些我们证明:$R$ 是 F-有理的 $\Leftrightarrow e_1^*(Q)=e_1(Q) \Leftrightarrow$ depth $R\geq 2$ 且 $e_1^*(Q)=0$。