符号约束Stiefel流形的紧误差界

$\mathbb{R}^{n\times r}$ 中的符号约束Stiefel流形是Stiefel流形的一个片段，其矩阵的某些列具有固定的符号（非负或非正）。它将非负Stiefel流形作为特例包含在内。我们提出了全局和局部误差界，它们提供了一个具有易于计算的残差函数和显式系数的不等式，以界定 $\mathbb{R}^{n\times r}$ 中的矩阵到符号约束Stiefel流形的距离。此外，我们证明了在温和条件下，除了乘性常数外，这些误差界是无法改进的，这解释了为什么当 $1< r <n$ 时界限中需要两个平方根项，以及为什么当 $r = n$ 或 $r = 1$ 时，对于符号约束和正交性，可以分别在界限中使用 $\ell_1$ 范数。这些误差界被应用于推导在正交性和符号约束下最小化Lipschitz连续函数的精确惩罚方法。