预算红蓝中位数问题的多重交换启发式算法的紧分析

预算红蓝中位数（Budgeted Red-Blue Median）是经典$k$-中位数的推广，即存在两组设施（记为$\mathcal{R}$和$\mathcal{B}$）可用于服务位于某度量空间中的客户。目标是在$\mathcal{R}$中开设$k_r$个设施，在$\mathcal{B}$中开设$k_b$个设施（给定界限$k_r, k_b$），并将每个客户连接到其最近的开设施，以最小化总连接成本。我们扩展了Hajiaghayi、Khandekar和Kortsarz [2012]的工作，表明多重交换局部搜索启发式可用于为预算红蓝中位数获得任意常数$\epsilon > 0$下的$(5+\epsilon)$-近似。这改进了他们的单交换分析，并击败了Swamy [2014]先前的最佳近似保证8。我们还给出了一个匹配下界，表明对每个$p \geq 1$，存在预算红蓝中位数的实例，其$p$-交换启发式的局部最优解成本是最优解成本的$5 + \Omega\left(\frac{1}{p}\right)$倍。因此，我们的分析关于低阶项是紧的。特别地，对任意$\epsilon > 0$，我们展示单交换启发式容许局部最优，其成本可能糟糕至最优解成本的$7-\epsilon$倍。