从噪声环境中检测异常路径的阈值

我们考虑“在迷宫中寻找轨迹”的复合假设检验问题，其中基于边为n的二维格子盒子节点上的观测，试图检测一个异常有向路径。在信号假设下，所有节点上观察到单位方差的独立高斯变量，在异常路径外为零均值，在路径上为均值$\mu_n$。在零假设下，所有节点上观察到i.i.d.标准高斯变量。Arias-Castro等人（2008）表明，如果信号假设下未知有向路径的起始位置已知，则当$\mu_n \gg 1/\sqrt{\log n}$时检测是可能的（在极大极小意义上），而当$\mu_n \ll 1/(\log n\sqrt{\log\log n})$时则不可能。在本文中，我们表明即使未知路径的起始位置未知，该结果仍然成立。与Arias-Castro等人（2008）的情况一样，这里的上界也适用于路径无向的情况。该改进是通过用多项式统计替换Arias-Castro等人（2008）中使用的线性统计来实现的，该多项式统计是通过对二次统计进行多尺度分析以引导其性能而获得的。我们的分析受到Lacoin（2010）中随机聚合物分析背景下发展的想法的启发。