带与不带整数谓词的实数加法理论

我们证明了：在结构 $\langle \mathbb{R}, +,<, \mathbb{Z} \rangle$ 中可定义的实数上的关系是否能在结构 $\langle \mathbb{R}, +,<, 1 \rangle$ 中定义，这一问题是可判定的。该结果通过以下方式获得：首先在 $\langle \mathbb{R}, +,<, \mathbb{Z} \rangle$-可定义关系族中给出 $\langle \mathbb{R}, +,<, 1 \rangle$-可定义关系的拓扑刻画，然后遵循 Muchnik 的方法，证明关系 $X$ 的刻画可在 $\langle \mathbb{R}, +,<,1, X \rangle$ 的逻辑中表达。上述刻画使我们能够证明在 $\langle \mathbb{R}, +,<, \mathbb{Z} \rangle$ 与 $\langle \mathbb{R}, +,<, 1 \rangle$ 之间不存在中间结构。我们还证明了：$\langle \mathbb{R}, +,<, \mathbb{Z} \rangle$-可定义关系是 $\langle \mathbb{R}, +,<, 1 \rangle$-可定义的，当且仅当其与每条 $\langle \mathbb{R}, +,<, 1 \rangle$-可定义直线的交集是 $\langle \mathbb{R}, +,<, 1 \rangle$-可定义的。这给出了一个非构造性但简单的 $\langle \mathbb{R}, +,<, 1 \rangle$-可定义关系刻画。