实数加法理论中可定义性问题的可判定性

给定子集 $X\subseteq \mathbb{R}^{n}$,我们可以为每一点 $x\in \mathbb{R}^{n}$ 关联一个极大维数的向量空间 $V$,使得在以 $x$ 为中心的某个球内,子集 $X$ 与平行于 $V$ 的一族直线的并重合。若 $V$ 维数为 $0$,则该点为奇异点。在早前论文中我们证明:一个 $(\mathbb{R}, +,< ,\mathbb{Z})$-可定义关系 $X$ 当且仅当奇异点数目有限且 $X$ 的每个有理截面在 $(\mathbb{R}, +,< ,1)$ 中可定义时,才在 $(\mathbb{R}, +,< ,1)$ 中可定义,其中有理截面是将某个分量固定为有理数值而从 $X$ 得到的集合。此处我们表明,通过假设奇异点的各分量为有理数,可以去掉 $X$ 为 $(\mathbb{R}, +,< ,\mathbb{Z})$-可定义的假设。这给出了结构 $(\mathbb{R}, +,< ,1)$ 中一阶可定义性的拓扑刻画。它还使我们能对广泛关系类给出 $(\mathbb{R}, +,< ,1)$- 与 $(\mathbb{R}, +,< ,\mathbb{Z})$-可定义性的自可定义判据(用 Muchnik 的术语),并且在相应理论可判定时成为有效判据。特别地,这些结果适用于实数上 $k-$可识别关系类,并使我们能够证明:对任意基数 $l \geq 2$,一个 $k-$可识别关系(任意元数)是否为 $l-$可识别是可判定的。