用于微分同胚配准的非定向形状的变分表示

本文解决了将曲线或曲面等形状表示为流（currents）时自然产生的定向问题。在计算解剖学领域，流的框架已被证明非常有效地模拟各种形状。然而，在此类方法中，形状的定向是一个根本性问题，可能导致在处理某些类型数据集时出现若干缺陷。具体而言，由于流的抵消效应，尖锐峰状结构会出现问题；对于由许多不连通部分组成的数据（如纤维束），流要求所有部分具有一致的定向，这也带来了困难。作为流的一种有前景的替代方案，由 F. Almgren 在几何测度论背景下引入的变分（varifolds），允许表示任何非定向流形（更一般地，任何非定向可求积集）。特别是，我们解释了变分如何从离散和连续的角度对非定向对象进行数值编码。我们展示了基于再生核理论在变分集上构建希尔伯特空间结构的多种方法。我们表明，与流的设定不同，这些度量与形状体积是一致的（定理 4.1），并推导了度量关于形状变化的公式（定理 4.2）。最后，我们提出了大变形度量映射（LDDMM）背景下针对非定向形状的配准算法的推广，并在本文最后一部分通过几个示例进行了详细说明。