通过膨胀算符与诱导形状空间流形对非平稳过程的表示与刻画

我们通过由膨胀诱导的几何引入了对随机过程的新视角。给定过程的膨胀矩阵由旋转矩阵的复合获得，以浓缩方式包含测度信息。特别有趣的是，膨胀矩阵的获取与底层过程的平稳性无关。当过程平稳时，它与 Naimark 膨胀一致且只计算一个旋转矩阵；当过程非平稳时，计算一组旋转矩阵。特别地，某些信号类中可能出现的相关函数的周期性被传递到膨胀矩阵集合上。这些旋转矩阵可根据信号的采样或重缩放而任意彼此接近，被视为信号的显著特征。为了研究该矩阵序列，并受信号可重缩放可能性的引导，与膨胀理论结果一同使用的正确几何框架是流形上曲线的空间，即位于基流形上的所有曲线的集合。为给出关于曲线空间的完整认识，提供了度量及导出的测地线方程。一般结果被适配到基流形为旋转矩阵李群这一更具体情形。曲线的形状概念可形式化为由曲线空间与递增微分同胚的商空间给出的曲线等价类集合。曲线空间中的度量自然扩展到形状空间，并支持形状间的比较。