伸缩与剪切变形空间的几何

本文为局部标架可能经历内部拉伸、压缩和剪切的空间发展了变形场几何。普通黎曼几何将内蕴度量几何 $(M,g)$ 作为给定数据并使用其 Levi-Civita 联络。本框架保留了额外数据：一个固定的参考度量几何和一个由 $g=P^T\bar gP$ 表示 $g$ 的变形场 $P$。这使得相对于固定参考的伸缩-剪切结构变得可见。变形场产生伸缩-剪切补偿 $\Lambda=P^{-1}\bar\nabla P$，自然的总比较联络为 $\Gamma=\mathring\Gamma+\Lambda$，其中 $\mathring\Gamma$ 是被表示度量的 Levi-Civita 联络。$\Gamma$ 的曲率、挠率和非度量性随后由 $\mathring\Gamma$ 和 $\Lambda$ 确定，而非作为独立的仿射数据被假定。涉及一维拉伸、共形变形、各向异性伸缩、剪切和球面几何的例子区分了度量曲率、嵌入实现和内部变形非均匀性。