十二重法、不相交圆问题以及多重集的划分

设 $n$ 为非负整数，$A=\{a_1,\ldots,a_k\}$ 为一个具有 $k$ 个不一定互异的元素的多重集，其中 $a_1\leqslant\ldots\leqslant a_k$。我们用 $\Delta(n,A)$ 表示将 $n$ 划分为形式 $a_1x_1+\ldots+a_kx_k$ 的方式数，其中 $x_i$ 为互异的正整数，且当 $a_i=a_{i+1}$ 时满足 $x_i< x_{i+1}$。我们给出了 $\Delta(n,A)$ 的递归公式以及一些特殊情形下的显式公式。利用这一概念，我们解决了不相交圆问题，该问题要求计算在平面上绘制 $n$ 个不计大小的不相交圆的方式数。后者也枚举了具有 $n+1$ 个顶点的无标号有根树的数目。