二阶常微分方程单值映射的拓扑

我们考虑如下问题：给定 $A \in SL(2,R)$，二阶Sturm-Liouville问题的哪些势 $q$ 以 $A$ 为其Floquet乘子？更确切地说，定义单值映射 $\mu$，它将势 $q \in L^2([0,2\pi])$ 映到 $\mu(q) = \tilde\Phi(2\pi)$，即基本矩阵映射 $\Phi: [0,2\pi] \to SL(2,R)$ 到 $SL(2,R)$ 的万有覆盖 $G = \widetilde{SL(2,R)}$ 的提升，其中\n$$\Phi(0) = I, \quad \Phi'(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q(t) & 0 \end{pmatrix} \Phi(t).$$\n设 $H$ 为实无限维可分Hilbert空间：我们给出显式微分同胚 $\Psi: G_0 \times H \to H^0([0,2\pi])$，使得复合 $\mu \circ \Psi$ 为到第一个坐标的投影。关键要素是势 $q$ 与 $\Phi$ 第一行在平面中像之间的对应，该像由极坐标参数化，我们称之为Kepler变换。作为诸多应用之一，令 $C_1 \subset L^2([0,2\pi])$ 为使得方程 $-u'' + qu = 0$ 存在非零周期解的势 $q$ 的集合：$C_1$ 微分同胚于一个超平面与 $R^3$ 中通常锥和 $H$ 的笛卡尔积的不交并。