茎扩张的第三同调与 Whitehead 二次函子

设 $A \rightarrowtail G\twoheadrightarrow Q$ 为一个茎扩张，并设 $\rho: A\times G\to G$ 为乘法映射。我们证明存在一个自然映射 $\varphi: H_1(\Sigma_2^\epsilon, {\rm Tor}_1^{\mathbb{Z}}({}_{2^\infty}A,{}_{2^\infty}A))\to H_3(G,\mathbb{Z})/\rho_\ast(A \otimes_{\mathbb{Z}} H_2(G,\mathbb{Z}))$，使得 $\varphi$ 的像与自然映射 $H_3(A,\mathbb{Z})\to H_3(G,\mathbb{Z})/\rho_\ast(A \otimes_{\mathbb{Z}} H_2(G,\mathbb{Z}))$ 的像重合。此处使用的一个重要工具是 Whitehead 二次函子 $\Gamma$。作为主结果证明的一部分，我们给出了自然映射 $\Gamma(A) \to A\otimes_{\mathbb{z}} A$、$\gamma(a)\mapsto a\otimes a$ 的核的精确同调描述。