随机矩阵理论中的超对称方法及其在QCD中的应用

超对称方法是评估无序系统中淬火平均值的强大方法。该方法已被应用于S矩阵涨落理论、普适电导涨落理论以及QCD Dirac算符的微观谱密度等领域。本系列讲座首先对随机矩阵理论和谱的统计理论进行一般性回顾。第二讲和第三讲给出随机矩阵理论中超对称方法的初步介绍。我们将证明，随机矩阵理论可以改写为超流形上的积分。该积分将对描述具有时间反演不变性破缺系统的高斯幺正系综进行计算。我们特别强调对称性的作用。作为超对称方法应用的第二个例子，我们讨论了QCD Dirac算符微观谱密度的计算，已知该谱密度由手征随机矩阵理论给出。在此情形下，我们也利用对称性考虑将预解式的生成函数改写为超流形上的积分。倒数第二讲的主要议题是关于超对称配分函数与Toda格层次之间关系的最新进展。我们将证明这种关系是计算超积分的一种有效途径。最后，我们将讨论非零化学势下淬火QCD Dirac谱。由于Dirac算符的非厄米性，通常的超对称方法在此情形下并不成功。然而，我们将证明，超对称配分函数可以通过Toda格方程的副本极限来评估。