量子加速中承诺的结构

长期以来人们已知，在通常的黑盒模型中，若不对输入施加某些承诺，则无法获得超多项式量子加速。在本文中，我们考察了某些类型的对称承诺，并表明它们也无法产生超多项式量子加速。我们得出结论，指数级量子加速仅在对输入施加“结构化”承诺时才会发生。具体而言，我们证明了对于定义在排列上的任何函数 $f$（即 $\{0,1,\dots, M-1\}^n$ 中每个字母元素恰好出现一次的元素），$D(f)$ 与 $Q(f)$ 之间存在 12 次的多项式关系。我们将此结果推广到定义在对称群作用 $S_n$ 轨道上的所有函数 $f$（该作用通过置换 $\{0,1,\dots, M-1\}^n$ 元素的条目来作用）。我们还表明，当 $M$ 为常数时，定义在“对称集”（即在 $S_n$ 下不变的集合）上的任何函数 $f$ 均满足 $R(f)=O(Q(f)^{12(M-1)})$。