在节点添加与随机连接的生长以及随机节点删除的收缩共同演化下的网络结构

我们给出了在生长（通过节点添加与随机连接）和收缩（通过随机节点删除）共同演化下涌现网络结构的解析结果。为此，我们考虑一个网络模型，其中每一步以概率 $P_{add}$ 发生节点添加与随机连接，以概率 $P_{del}=1-P_{add}$ 发生随机节点删除。生长与收缩过程之间的平衡由参数 $\eta=P_{add}-P_{del}$ 刻画。纯网络生长的情形由 $\eta=1$ 描述。在 $0<\eta<1$ 时，节点添加速率超过节点删除速率，整体过程为网络生长。在相反情形 $-1<\eta<0$ 下，整体过程为网络收缩，而在特例 $\eta=0$ 时，除涨落外网络期望规模保持不变。利用主方程，我们获得了随时间变化的度分布 $P_t(k)$ 的闭式表达式。度分布 $P_t(k)$ 包含一项依赖于初始度分布 $P_0(k)$ 的项，其随时间衰减，以及一项渐近分布 $P_{st}(k)$。在纯网络生长（$\eta=1$）时，渐近分布 $P_{st}(k)$ 服从指数分布，而在 $-1<\eta<1$ 时它由类泊松项之和构成并呈现类泊松尾部。在整体网络生长（$0 < \eta < 1$）时，度分布 $P_t(k)$ 最终收敛到 $P_{st}(k)$。在整体网络收缩（$-1 < \eta < 0$）时，我们识别出两种不同机制。对于 $-1/3 < \eta < 0$，$P_t(k)$ 快速收敛到 $P_{st}(k)$。相反，对于 $-1 < \eta < -1/3$，$P_t(k)$ 的收敛起初非常缓慢，仅在网络消失前不久才接近 $P_{st}(k)$。