轨道弧的棍数

考虑 $\mathbb{R}^3$ 中的两条平行线 $\ell_1$ 和 $\ell_2$。轨道弧是弧在 $\mathbb{R}^3$ 中的一种嵌入，其中一个端点在 $\ell_1$ 上，另一个在 $\ell_2$ 上，且其内部与 $\ell_1\cup\ell_2$ 不相交。轨道弧在轨道同痕（rail isotopies）意义下考虑，即 $\mathbb{R}^3$ 的环境同痕，其中每个自同胚将 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 映射到自身。当流形与映射取分段线性范畴时，这些轨道弧称为棍状轨道弧（stick rail arcs）。一个轨道弧类的棍数是指构造其代表元所需的最少棍数，即 p.l. 弧中的线段数。本文将计算交叉数至多为 2 的轨道弧类的棍数，并利用绕数不变量计算无穷多个轨道弧类的棍数。每个轨道弧类有两个典范相关的纽结类，即其下伴随与上伴随。本文还引入了纽结类的轨道棍数，即构造下或上伴随为该纽结类的轨道弧所需的最少棍数。计算了所有交叉数至多为 9 的纽结类的轨道棍数。还考虑了多分量轨道弧类的棍数以及轨道弧的格点棍数。