超图覆盖的谱性质

设$H$为一个连通的$m$-一致超图,令$\mathcal{A}(H)$为$H$的邻接张量,其谱简称为$H$的谱。令$s(H)$表示与谱半径相关联的$\mathcal{A}(H)$的特征向量个数,$c(H)$表示模等于谱半径的$\mathcal{A}(H)$的特征值个数,它们分别称为$H$的稳定指标与循环指标。令$\bar{H}$为$H$的一个$k$重覆盖,可由对称群$\mathbf{S}_k$中关于$H$的某个置换指派得到。本文首先通过其关联图与置换指派刻画$\bar{H}$的连通性,进而研究$H$与$\bar{H}$谱性质之间的关系。应用模论与群表示,若$\bar{H}$连通,我们证明$s(H) \mid s(\bar{H})$且$c(H) \mid c(\bar{H})$。特别地,当$\bar{H}$为$H$的$2$重覆盖时,若$m$为偶数,我们证明无论重数如何,$\bar{H}$的谱包含$H$的谱以及一个以$H$为底层超图的有符号超图的谱;若$m$为奇数,我们给出$s(\bar{H})$的显式公式。我们还通过例子发现了超图覆盖与图覆盖在谱性质上的一些差异。