具有聚类节点的范德蒙德矩阵的光谱性质

我们研究具有 $N+1$ 行和 $s$ 个在单位圆上非等距节点的矩形范德蒙德矩阵 $\mathbf{V}$，其中部分节点“聚类”在一起——每个簇内元素间距至多 $h \lesssim {1\over N}$，而簇间间距至少 $\theta \gtrsim {1\over N}$。我们证明对应于两个不同簇的任意一对列子空间近乎正交：它们之间的最小主角为至多 $$\frac{\pi}{2}-\frac{c_1}{N \theta}-c_2 N h,$$ 其中某些常数 $c_1,c_2$ 仅依赖于簇的重数。因此，$\mathbf{V}_N$ 的谱分析可通过将问题化简为各簇的独立分析而显著简化。由此我们导出关于 1) $\mathbf{V}$ 的所有奇异值，以及 2) 线性最小二乘问题的按分量条件数的准确估计。重要的是，这些估计仅对局部簇重数呈指数依赖，而随 $s$ 至多线性变化。