重新审视 Kholodenko-Silagadze 多重积分的特例 I₃

嵌套的 Kholodenko-Silagadze 求积公式 $$I_{n} = \int_{-\infty}^{\;\infty}ds_{1}\int_{-\infty}^{\;s_{1}}ds_{2}\int_{-\infty}^{\;s_{2}}ds_{3}\cdots \int_{-\infty}^{\;s_{2n-3}}ds_{2n-2}\int_{-\infty}^{\;s_{2n-2}}ds_{2n-1}\int_{-\infty}^{\;s_{2n-1}}ds_{2n}\cos(s_{1}^{2}-s_{2}^{2})\cos(s_{3}^{2}-s_{4}^{2})\cdots\cos(s_{2n-3}^{2}-s_{2n-2}^{2})\cos(s_{2n-1}^{2}-s_{2n}^{2})= \frac{2}{n!}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n} \;,$$ 对所有整数 $n\geq 1$ 均成立，此前是通过一个巧妙但间接的论证得到的。本文从统一的求积归约视角重新处理该问题。在此过程中，于其首个真正困难之处即 $n=3$ 时，那个深奥难解的求积公式 $$\int_{\,0}^{\;\infty} \frac{\cos(u)}{u} du \int_{\,0}^{\,u} \frac{\sin^{2}(v)}{v}dv + \int_{\,0}^{\;\infty} \frac{\sin(u)}{u} du \int_{\,0}^{\,u} \frac{\sin(v)\cos(v)}{v}dv = \,\frac{\pi^{2}}{12}\;,$$ 此前可能不为人知，现通过其指示值 $\pi^{2}/12$ 得到了间接解决。