赠券收集问题的兄弟姐妹变体

赠券收集问题的以下变体最近引起了相当多的关注（参见，例如，N. Pintacuda 1980, D. Foata H. Guo-Niu 和 B. Lass 2001, D. Foata 和 D. Zeilberger 2003, I. Adler, S. Oren 和 S. Ross 2003, 以及 S. Ross 2010）：有一位主要收集者收集赠券。假设共有 $N$ 种不同类型的赠券，其出现概率通常不相等。当主要收集者得到一张“重复”赠券时，她将其交给她的哥哥；当这位哥哥得到一张“重复”赠券时，他将其交给下一个弟弟，依此类推。因此，当主要收集者完成她的收集时，第 $j$ 个兄弟姐妹（$j = 2, 3, \dots$）的专辑中仍将有 $U_j^N$ 个空位。在本文中，我们开发了针对一大类赠券概率族，计算当 $N \rightarrow \infty$ 时 $U_j^N$ 的平均值 $E[U_j^N]$ 的渐近性的技术。我们还提供了各种说明性示例。